Конспект лекций

по курсу:

”Теория вероятности и математическая статистика”

Преподаватель: Студент II курса
ФИВТ, гр. ИС-41
проф. Павлов А. А. Андреев А. С.

Киев - 1996 г.
Введение.
Теория вероятности возникла как наука из убеждения, что в основе массовых случайных событий лежат детерминированные закономерности. Теория вероятности изучает данные закономерности.
Например: определить однозначно результат выпадения “орла” или “решки” в результате подбрасывания монеты нельзя, но при многократном подбрасывании выпадает примерно одинаковое число “орлов” и “решек”.
Испытанием называется реализация определенного комплекса условий, который может воспроизводиться неограниченное число раз. При этом комплекс условий включает в себя случайные факторы, реализация которого в каждом испытании приводит к неоднозначности исхода испытания.
Например: испытание - подбрасывание монеты.
Результатом испытания является событие. Событие бывает:
Достоверное (всегда происходит в результате испытания);
Невозможное (никогда не происходит);
Случайное (может произойти или не произойти в результате испытания).
Например: При подбрасывании кубика невозможное событие - кубик станет на ребро, случайное событие - выпадение какой либо грани.
Конкретный результат испытания называется элементарным событием.
В результате испытания происходят только элементарные события.
Совокупность всех возможных, различных, конкретных исходов испытаний называется пространством элементарных событий.
Например: Испытание - подбрасывание шестигранного кубика. Элементарное событие - выпадение грани с “1” или “2”.
Совокупность элементарных событий это пространство элементарных событий.
Сложным событием называется произвольное подмножество пространства элементарных событий.
Сложное событие в результате испытания наступает тогда и только тогда, когда в результате испытаний произошло элементарное событие, принадлежащее сложному.
Таким образом, если в результате испытания может произойти только одно элементарное событие, то в результате испытания происходят все сложные события, в состав которых входят эти элементарные.
Например: испытание - подбрасывание кубика. Элементарное событие - выпадение грани с номером “1”. Сложное событие - выпадение нечетной грани.
Введем следующие обозначения:
А - событие;
 - элементы пространства ;
 - пространство элементарных событий;
U - пространство элементарных событий как достоверное событие;
V - невозможное событие.
Иногда для удобства элементарные события будем обозначать E¬i, Qi.

Операции над событиями.
1. Событие C называется суммой A+B, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих как в A, так и в B. При этом если элементарное событие входит и в A, и в B, то в C оно входит один раз. В результате испытания событие C происходит тогда, когда произошло событие, которое входит или в A или в B. Сумма произвольного количества событий состоит из всех элементарных событий, которые входят в одно из Ai, i=1, ..., m.

2. Событие C произведением A и B, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих и в A, и в B. Произведением произвольного числа событий называется событие состоящее из элементарных событий, входящих во все Ai, i=1, ..., m.

3. Разностью событий A-B называется событие C, состоящее из всех элементарных событий, входящих в A, но не входящих в B.

4. Событие называется противоположным событию A, если оно удовлетворяет двум свойствам.
Формулы де Моргана: и

5. События A и B называются несовместными, если они никогда не могут произойти в результате одного испытания.
События A и B называются несовместными, если они не имеют общих элементарных событий.
C=AB=V
Тут V - пустое множество.
Частость наступления события.
Пусть пространство элементарных событий конечно и состоит из m элементарных событий. В этом случае в качестве возможных исходов испытаний рассматривают 2¬¬m событий - множество всех подмножеств пространства элементарных событий  и невозможное событие V.
Пример:
=(1, 2, 3)
A1=V
A2=(1)
A3=(2)
A4=(3)
A5=(1, 2)
A6=(2, 3)
A7=(1, 3)
A8=(1, 2, 3)
Обозначим систему этих событий через F. Берем произвольное событие AF. Проводим серию испытаний в количестве n. n - это количество испытаний, в каждом из которых произошло событие A.
Частостью наступления события A в n испытаниях называется число

Свойства частости.
1.
2. Частость достоверного события равна 1. n(U)=1.
3. Частость суммы попарно несовместных событий равна сумме частостей.
Рассмотрим систему Ai, i=1, ..., k; события попарно несовместны, т.е.
Событие
Пусть в результате некоторого испытания произошло событие A. По определению сумы это означает, что в этом испытании произошло некоторое событие Ai. Так как все события попарно несовместны, то это означает, что никакое другое событие Aj (ij) в этом испытании произойти не может. Следовательно:
nA=nA1+nA2+...+nAk

Теория вероятности используется при описании только таких испытаний, для которых выполняется следующее предположение: Для любого события A частость наступления этого события в любой бесконечной серии испытаний имеет один и тот же предел, который называется вероятностью наступления события A.
Следовательно, если рассматривается вероятность наступления произвольного события, то мы понимаем это число следующим образом: это частость наступления события в бесконечной (достаточно длинной) серии испытаний.
К сожалению, попытка определить вероятность как предел частости, при числе испытаний, стремящихся к бесконечности, закончилась неудачно. Хотя американский ученый Мизес создал теорию вероятности, базирующуюся на этом определении, но ее не признали из-за большого количества внутренних логических несоответствий.
Теория вероятности как наука была построена на аксиоматике Колмогорова.
Аксиоматика теории вероятности.
Построение вероятностного пространства.
Последовательно строим вероятностное пространство.
Этап 1:
Имеется испытание. В результате проведения испытания может наблюдаться одно событие из серии событий . Все события из системы  называются наблюдаемыми. Введем предположение, что если события A  , B   наблюдаемы, то наблюдаемы и события .
Система событий F называется полем событий или алгеброй событий, если для двух произвольных событий A, B  F выполняется:
1) Дополнения
2) (A+B)  F, (AB)  F
3) все конечные суммы элементов из алгебры принадлежат алгебре
4) все конечные произведения элементов из алгебры принадлежат алгебре
5) все дополнения конечных сумм и произведений принадлежат алгебре.
Таким образом, систему  мы расширяем до алгебры или поля F путем включения всех конечных сумм, произведений, и их дополнений. Т.е. считаем, что в результате проведения испытания наблюдаемая система является полем или алгеброй.
Множество всех подмножеств конечного числа событий является наблюдаемой системой - алгеброй, полем.
Этап 2:
Каждому событию A  F ставим в соответствие число P(A), которое называется вероятностью наступления события A. Такая операция задает вероятностную меру.
Вероятностная мера - числовая скалярная функция, аргументами которой являются элементы из системы алгебры F. Введенная вероятностная мера удовлетворяет системе из трех аксиом.
1.
2. P(U)=1.
3. Рассмотрим конечную или бесконечную систему попарно несовместных событий, каждое из которых принадлежит алгебре F.
. Если , то .
Алгебра событий называется  - алгеброй, если эта система событий содержит в себе все конечные суммы и произведения из алгебры F и их дополнения, а также все бесконечные суммы и произведения из алгебры и их дополнения.
Пример: В пространстве R1 зададим в качестве поля событий все конечные интервалы вида axb, ba.
Распространение этой алгебры на  - алгебру приводит к понятию борелевской алгебры, элементы которой называются борелевскими множествами. Борелевская алгебра получается не только расширением поля вида axb, но и расширением полей вида axb, axb.
Над наблюдаемым полем событий F задается счетно-аддитивная мера - числовая скалярная функция, элементами которой являются элементы поля F, т.е. события. Она удовлетворяет следующим трем условиям-аксиомам теории вероятности.
1. . P(A) - число, принадлежащее сегменту [0, 1] и называющееся вероятностью наступления события A.
2. P(A)  [0, 1] P(U)=1.
3. Пусть имеется A1, A2, A3,..., Ak - система попарно несовместных событий
Если , то .
Теорема о продолжении меры.
Построим минимальную  - алгебру, которой принадлежит поле событий F (например, борелевская  - алгебра - это минимальная  - алгебра, которая содержит поле всех полуинтервалов ненулевой длины).
Тогда доказывается, что счетно-аддитивная функция P(A) однозначно распространяется на все элементы минимальной  - алгебры и при этом ни одна из аксиом не нарушается.
Таким образом, продленное P(A) называется  - аддитивной мерой.
 - алгебра содержит ненаблюдаемые события наряду с наблюдаемыми.
Но в аксиоматической теории вероятности считается, что может произойти любое событие из  - алгебры.
Расширение поля наблюдаемых событий на  - алгебру связано с невозможностью получить основные результаты теории вероятности без понятия  - алгебры.
Определение вероятностного пространства.
Вероятностным пространством называется тройка (, , P), где
 - пространство элементарных событий, построенное для данного испытания;
 - -алгебра, заданная на  - системе возможных событий, которая интересует исследователя, в результате проводимых испытаний;
P -  - аддитивная мера, т.е.  - аддитивная неотрицательная функция, аргументами которой являются аргументы из  - алгебры и