методичька

Дата: Четверг, 05.02.2009, 22:30 | Сообщение # 1

~<•] Клан Лидер [•>~

Группа: Администраторы

Сообщений: 336

Награды: 0

Репутация: 666

Статус: Offline

Министерство образования и науки Российской Федерации
Южно-Уральский государственный университет
Кафедра строительной механики

624.07(07)
М487

А.П. Мельчаков, И.С. Никольский

СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ
(с примерами и пояснениями)

Учебное пособие

Челябинск
Издательство ЮУрГУ
2004
УДК 624.07(07) М487

Мельчаков А.П., Никольский И.С. Сборник задач по строительной механике (с примерами и пояснениями): Учебное пособие. – Челябинск: Издательство ЮУрГУ, 2004 – 58 с.

Учебное пособие содержит задачи по курсу строительной механики статически определимых стержневых систем и состоит из двух частей. Первая часть сборника включает задачи по построению эпюр и линий влияния внутренних усилий в разных по типу конструкциях (балки, рамы, фермы, распорные системы). Вторая часть сборника содержит задачи на определение перемещений в стержневых системах от различных внешних воздействий. В сборнике к каждому типу задач приводятся пример решения, необходимые пояснения и требуемые для самостоятельного изучения темы учебники и учебные пособия.
Пособие предназначено для студентов строительных специальностей всех форм обучения.

Авторы выражают глубокую благодарность Соломину В.И. и Сытнику А.С. за помощь при подготовке учебного пособия.

Ил. 223, табл. 16, список лит. 6.

Одобрено учебно-методической комиссией архитектурно-строительного факультета.

Рецензенты: В.А. Жилкин, С.Б. Шматков.

ISBN © Издательство ЮУрГУ, 2004.ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 4
1. ЭПЮРЫ И ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМАХ
1.1. Расчет однопролетных балок 5
1.2. Расчет многопролетных балок 11
1.3. Расчет плоских рам 20
1.4. Расчет балочных ферм 29
1.5. Расчет распорных и комбинированных систем 37
2. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМАХ
2.1. Расчет перемещений от нагрузки 40
2.2. Расчет перемещений от изменения температуры 47
2.3. Расчет перемещений от кинематического воздействия 53
ВВЕДЕНИЕ
Основная цель сборника – помочь студенту усвоить законы статики кинематически неизменяемых плоских стержневых систем. От обычных учебников по строительной механике сборник отличается значительным многообразием расчетных схем конструкций, в которых требуется построить эпюры и линии влияния внутренних силовых факторов, либо определить линейные и угловые перемещения заданных сечений. Задачи в сборнике расположены по возрастающей сложности, при этом к каждому типу задач приводится пример расчета, необходимые для решения задач пояснения и требуемые для самостоятельного изучения темы учебники и учебные пособия.
Первая часть сборника посвящена статике стержневых систем, не имеющих «избыточных» (лишних) связей. Для определения внутренних сил в них достаточно знать (и уметь применять) только законы равновесия. В этой части приведены задачи, которые позволят студенту освоить методы и технику построения эпюр внутренних силовых факторов и линий влияния в различных по сложности стержневых системах.
Вторая часть сборника посвящена проблеме определения перемещений в стержневых системах от различных внешних воздействий (нагрузка, изменение температуры, кинематическое воздействие).
Сборник задач может быть использован на практических занятиях по строительной механике, при промежуточном контроле знаний студентов, а также на зачетах и экзаменах.
ЭПЮРЫ И ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМАХ

1.1. Расчет однопролетных балок

Формулировка задачи
Для одной из однопролетных балок, изображенных на рис. 1.1.1 – 1.1.25 требуется:
построить эпюры внутренних силовых факторов и линии влияния внутренних усилий в сечениях n и k;
определить усилия в сечениях n и k по линиям влияния от заданной нагрузки и сравнить их с усилиями на эпюрах.

Исходные данные для расчета принять из табл. 1.1.
Таблица 1.1

Номер
варианта 1 2 3 4 5 6 7
a, м 2 3 4 2 2 4 3
b, м 3 4 2 4 3 2 3
c, м 4 3 2 2 4 3 2
d, м 2 4 3 2 3 2 4
M, кНм 6 5 4 6 8 10 7
F, кН 4 5 3 6 7 2 8
q, кН/м 2 1 3 4 2 1 3

Эпюры внутренних силовых факторов (рис. 1.1.26)

Линии влияния внутренних силовых факторов в сечениях n и k (рис. 1.1.27)

Определение внутренних усилий S (изгибающего момента или поперечной силы) в сечениях n и k по формуле влияния:

tg ,
где M – сосредоточенный момент («+» - направлен по часовой стрелке, «-» - направлен против часовой стрелки);
α – наклон линии влияния в месте приложения M;
F – сосредоточенная сила («+» - направлена вниз, «-» - направлена вверх);
y – ордината линии влияния под силой;
q – интенсивность распределенной нагрузки («+» - направлена вниз, «-» - направлена вверх);
ω – площадь линии влияния под нагрузкой.
кНм,
,
кНм,
кН.

Значение усилий совпали с соответствующими усилиями на эпюрах.

Пояснение к решению задачи
Для построения линий влияния в балках целесообразно воспользоваться статико-кинематическим методом. Суть метода заключается в том, что вначале определяется вид линии влияния. Для этого из балки удаляется связь, линию влияния усилия в которой требуется построить. В полученном таким образом механизме с одной степенью свободы строится эпюра возможных перемещений (рис. 1.1.28). В теории линий влияния на основе принципа возможных работ доказано, что вид линии влияния совпадает с очертанием этой эпюры. При известном очертании линии влияния любую ее ординату несложно вычислить из законов статики. Для этого достаточно установить единичный груз над ординатой, отделить часть балки, содержащей искомое усилие, и рассмотреть равновесие этой части.

Примечание. Знак линии влияния определиться автоматически, если возможное перемещение механизму задать в направлении, совпадающем с положительным направлением искомого усилия.
При определении усилий по линиям влияния следует помнить, что внешний сосредоточенный момент вносится в формулу влияния со знаком «+», если направлен по часовой стрелке, внешняя сосредоточенная сила и распределенная нагрузка со знаком «+», если направлены вниз. Такие правила приняты при выводе формулы влияния. Знак же тангенса определяется обычным образом, т.е. в первой и третьей четвертях он положительный (если линия влияния не перевернута).

Учебники (учебные пособия)

Шифр библиотеки ЮУрГУ Автор(ы), название учебника
(учебного пособия)
624.04(07)
А697 Н.Н. Анохин. Строительная механика в примерах и задачах. Часть I. Статически определимые системы.
624.04(07)
С863 А.Ф. Смирнов и др. Строительная механика (стержневые системы).
624.04(07)
С535 Снитко Н.К. Строительная механика
624.04(07)
Д203 А.В. Дарков, Н.Н. Шапошников. Строительная механика.
624.04(07)
Р851 Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механики (под ред. Г.К. Клейна)

1.2. Расчет многопролетных балок

Формулировка задачи
Для одной из многопролетных балок, изображенных на рис. 1.2.1 – 1.2.25 требуется:
построить эпюры внутренних силовых факторов и линии влияния внутренних усилий в сечении k;
определить усилия в сечении k по линиям влияния от заданной нагрузки и сравнить их с усилиями на эпюрах;
найти максимальное и минимальное значение изгибающего момента в сечении k от подвижной системы связанных грузов, показанной на рис. 1.2.26.

Исходные данные для расчета принять из табл. 1.2.
Таблица 1.2

Номер варианта 1 2 3 4 5 6 7
l, м 2 3 4 2 2 4 3
M, кНм 6 5 4 6 8 10 7
F, кН 4 5 3 6 7 2 8
q, кН/м 2 1 3 4 2 1 3

1) Кинематический анализ системы
Степень свободы системы
.
Геометрическая неизменяемость многопролетной балки следует из анализа ее «монтажно-поэтажной» схемы, показанной на рис.1.2.27. Все диски на этой схеме имеют необходимое число правильно установленных связей. Следовательно, многопролетная балка является статически определимой системой.

Линии влияния внутренних силовых факторов в сечении k

Определение внутренних силовых факторов в сечении k по линиям влияния
кНм,
кН.
Знаки и значения усилий совпали со знаками и значениями усилий на эпюрах.

Определение невыгодного загружения линии влияния изгибающего момента в сечении k подвижной системой связанных грузов, показанной на рис. 1.2.26
На рис. 1.2.32 показано положение системы грузов, при котором в сечении k возникает максимальный (наибольший со знаком плюс) изгибающий момент. Критическим грузом является сила 4 кН, так как при переходе этого груза через вершину знак производной Мk меняется с «+» на «–»:
,
.
кНм.

На рис. 1.2.33 показано положение системы грузов, при котором в сечении k возникает минимальный (наибольший со знаком минус) изгибающий момент. Критическим грузом является сила 4 кН, так как при переходе этого груза через вершину знак производной Мk меняется с «–» на «+»:
,
.
.

Пояснения к решению задачи
Стержневая система является статически определимой, если степень ее свободы W равна нулю и она геометрически неизменяемая. В геометрически неизменяемых системах перемещения от нагрузок являются следствием только деформаций ее элементов. Для многопролетных статически определимых балок анализ геометрической неизменяемости проще выполнять через построение т.н. «монтажно-поэтажной» схемы, показывающей последовательность монтажа отдельных балок. На каждом «этаже» такой схемы должно присутствовать три связи (см. рис. 1.2.27).
При определении реакций в связях многопролетной статически определимой балки целесообразно воспользоваться наиболее общим подходом, заключающимся в том, что любая многодисковая статически определимая система может быть представлена в виде набора отдельных дисков с действующими на них внешними нагрузками и реакциями связей, обеспечивающих им равновесие в составе системы. В теории статически определимых систем доказано, что число независимых уравнений статики в точности равно числу реакций в связях, включая и силы взаимодействия в шарнирах, которые на смежные диски прикладываются в соответствии с законом Ньютона «действие равно противодействию», т.е. равными и противоположно направленными.
Примечание. Сосредоточенные внешние силы, действующие на шарниры, можно приложить к любому из смежных дисков.
После построения эпюр внутренних силовых факторов в отдельных дисках они объединяются и образуют эпюры для многопролетной балки в целом (см. рис. 1.2.30).
При построении линий влияния усилий в многопролетных балках проще всего воспользоваться статико-кинематическим методом, описание которого приведено в пояснениях к разделу 1.1. Поскольку линии влияния усилий в статически определимых системах имеют полигональный вид, то достаточно найти всего одну наиболее просто определяемую из условий равновесия ординату этой линии влияния. В примере определена ордината, когда единичный груз установлен над сечением k. При таком положении груза второстепенные балки (см. рис. 1.2.27) не работают, их можно отбросить и из законов равновесия определить изгибающий момент и поперечную силу в сечении k основной балки.
Правила определения усилий по линиям влияния и формула влияния приведены в разделе 1.1.
Определение максимального и минимального значений усилия S от подвижной системы связанных между собой сосредоточенных грузов требует нахождения невыгодного загружения линии влияния этой системой грузов. В теории линий влияния доказано, что в при невыгодном загружении один из грузов (критический) должен находиться над одной из вершин (критической) линии влияния: над выпуклой, если отыскивается maxS, и вогнутой, если отыскивается minS (линия влияния при этом не должна быть перевернута). Условием, что груз и вершина действительно критические, является смена знака производной усилия при переходе грузом вершины: с «+» на «–», если отыскивается maxS, и с «–» на «+», если minS. Производная усилия определяется по формуле:

tg
где Fi – сосредоточенный груз;
ai – угол наклона линии влияния в месте приложения сосредоточенного груза Fi.
Задача нахождения критического груза и критической вершины решается перебором возможных вариантов. Определение maxS и minS осуществляется по формуле влияния

,
где Fi – сосредоточенный груз;
уi – ординаты линии влияния усилия S под сосредоточенными грузами, установленными в положение невыгодного загружения.

Учебники (учебные пособия)

Шифр библиотеки ЮУрГУ Автор(ы), название учебника
(учебного пособия)
624.04(07)
А697 Н.Н. Анохин. Строительная механика в примерах и задачах. Часть I. Статически определимые системы.
624.04(07)
С863 А.Ф. Смирнов и др. Строительная механика (стержневые системы).
624.04(07)
С535 Снитко Н.К. Строительная механика
624.04(07)
Д203 А.В. Дарков, Н.Н. Шапошников. Строительная механика.
624.04(07)
Р851 Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механики (под ред. Г.К. Клейна)

1.3. Расчет плоских рам

Формулировка задачи
Для одной из рам, изображенных на рис. 1.3.1 – 1.3.25, требуется:
выполнить кинематический анализ;
определить реакции в связях, включая силы взаимодействия в шарнирах;
построить эпюры внутренних силовых факторов.

Исходные данные для расчета принять из табл.1.3
Таблица 1.3

Номер варианта 1 2 3 4 5 6 7
l, м 3 3 2 3 4 4 2
h, м 2 3 3 4 3 4 4
F, кН 3 4 5 5 4 5 6
M, кНм 5 4 6 4 6 5 8

Кинематический анализ рамы
1) Степень свободы системы
.
Рама представляет собой неизменяемую фигуру (рис. 1.3.27), состоящую из трех дисков, соединенных между собой шарнирами А, 1 и 2, не лежащими на одной прямой. Следовательно, геометрическая неизменяемость рамной конструкции обеспечена.

Реакции в связях
Силы, обеспечивающие равновесие дисков рамы, показаны на рис. 1.3.28.

Направление и величины реакций хА, уА, хВ, уВ, МВ, х1, у1, х2, у2, найденных из 9-и уравнений равновесия (по три для каждого диска), показаны на рис.1.3.29.

Эпюры внутренних силовых факторов в дисках рамы
Эпюры продольных сил (кН)

Эпюры поперечных сил (кН)

Эпюры изгибающих моментов (кНм)

Проверка равновесия жестких узлов С и D

Узел С Узел D

SX = 0; SY = 0; SMC = 0. SX = 0; SY = 0; SMD = 0.

Пояснения к решению задачи
Кинематический анализ производится с целью доказательства, что рассматриваемая рамная конструкция является статически определимой, т.е. она не имеет избыточных («лишних») связей и обеспечена ее геометрическая неизменяемость. Процедура анализа геометрической неизменяемости включает отыскание в раме связанных дисков, в совокупности образующих простейшие неизменяемые фигуры, к которым относятся:
1) три диска, соединенных тремя не лежащими на одной прямой простыми шарнирами (см. рис. 1.3.27.);
2) два диска, соединенные тремя простыми не параллельными и не пересекающимися в одной точке связями.
При этом земля рассматривается как неизменяемый и неподвижный диск.
2) При определении реакций в связях статически определимой рамы целесообразно воспользоваться наиболее общим подходом, заключающимся в том, что любая многодисковая статически определимая система может быть представлена в виде набора отдельных дисков с действующими на них внешними нагрузками и реакциями связей, обеспечивающих им равновесие в составе системы. В теории статически определимых систем доказано, что число независимых уравнений статики в точности равно числу реакций в связях, включая и силы взаимодействия в шарнирах, которые на смежные диски прикладываются в соответствии с законом Ньютона «действие равно противодействию», т.е. равными и противоположно направленными.
Примечание. Сосредоточенные внешние силы, действующие на шарниры, можно приложить к любому из смежных дисков.
3) Определение внутренних силовых факторов в дисках производится методом сечений, суть которого состоит в следующем:
разрезают диск на две части так, чтобы в разрез попало поперечное сечение, в котором отыскиваются внутренние силовые факторы;
отбрасывают одну часть диска (любую), а ее действие заменяют усилиями N, Q и M;
для рассматриваемой части диска составляют три независимых уравнений равновесия, из которых определяются величины и направления внутренних силовых факторов.
Для проверки равновесия жестких узлов с построенных эпюр в сечениях, максимально приближенных к узлам, снимаются внутренние силовые факторы и с учетом знака усилия прикладываются к узлам. Проверяется выполнение условий равновесия, при составлении которых необходимо учесть внешние сосредоточенные силы или моменты, непосредственно приложенных к узлу.

1.4. Расчет балочных ферм

Формулировка задачи
Для одной из балочных ферм, изображенных на рис. 1.4.1 – 1.4.25 требуется:
определить аналитически усилия в отмеченных стержнях от неподвижной нагрузки в виде сосредоточенных сил F, приложенных в каждом узле прямолинейного пояса фермы;
построить линии влияния усилий для отмеченных стержней при «езде» по прямолинейному поясу фермы;
вычислить по линиям влияния усилия в отмеченных стержнях от сил F и результаты сравнить со значениями усилий, полученными аналитически.

Исходные данные для расчета принять из табл. 1.4.
Таблица 1.4

Номер варианта 1 2 3 4 5 6 7
l, м 2 1 1,5 1,5 1 2 2,5
h, м 2 1,5 0,75 1,75 2 3 3
F, кН 5 7 9 10 8 6 4

Пример решения задачи
Исходные данные: схема фермы на рис. 1.4.25; l=4 м; h=3 м; F=3 кН.
Аналитическое определение усилий в отмеченных стержнях от неподвижной нагрузки

icq 447777343

Дата: Четверг, 05.02.2009, 22:30 | Сообщение # 2

~<•] Клан Лидер [•>~

Группа: Администраторы

Сообщений: 336

Награды: 0

Репутация: 666

Статус: Offline

кН

кН.

Линии влияния усилий для отмеченных на схеме стержней

(уравнение правой ветви)

Определение усилий в отмеченных стержнях по формуле влияния от сил F=3 кН.
кН,
кН,
кН,
кН.
Пояснения к решению задачи
Аналитический способ нахождения усилий от неподвижной нагрузки требует рассмотрения равновесия отсеченной части фермы, содержащей определяемое усилие.
Основой для построения линий влияния в стержнях фермы, в большинстве случаев, являются линии влияния опорных реакций, вид и значение ординат которых очевиден. Задача, как правило, сводится к нахождению связи внутреннего усилия с реакциями опор через законы равновесия и последующего перемасштабирования линий влияния реакций. В приведенном примере связь усилия в стержне 1–2 с реакцией RA, когда груз находится справа от разреза I, определена из равенства нулю моментов относительно точки (узла) 4 для левой отсеченной части фермы. В результате получено уравнение правой ветви, а левая ветвь, как известно, пересекается с правой в точке, лежащей на одной вертикали с моментной точкой (узлом) 4. Для усилия в стержне 2–4 ветви линии влияния параллельны, поскольку связь с реакцией определяется уравнением равновесия . Для построения линии влияния усилия в стержне 1–4 использована связь этого усилия с усилием в стержне 1–3 из равновесия узла 1, а линия влияния усилия в стержне 1–3 легко построить, если рассмотреть равновесие узла 3.

1.5. Расчет распорных и комбинированных систем

Формулировка задачи
Для одной из стержневых систем, изображенных на рис. 1.5.1 – 1.5.24 требуется:
выполнить кинематический анализ;
определить внутренние силовые факторы в указанных сечениях.

Исходные данные для расчета принять из табл. 1.5.
Таблица 1.5

Номер варианта 1 2 3 4 5 6 7
l, м 2 1,5 2 1,75 2 3 3
F, кН 10 6 7 4 9 8 5

Пример решения задачи
Этот раздел предусмотрен для студентов, желающих доказать, что они способны решать задачи статики стержневых систем повышенной сложности. Поэтому пример решения здесь не приводится.

Пояснения к решению задачи
В распорных системах при вертикальной нагрузке возникают реакции (распор) в горизонтальных связях (затяжках, распорках и др.). Найдите реакции в связях.
Сложности возникают не только при определении реакций в связях, но и при доказательстве, что рассматриваемая конструктивная схема является статически определимой, т.е. кинематически неизменяемой, у которой степень свободы равна нулю. Преодолейте эти трудности.

2.1. Расчет перемещений от нагрузки

Формулировка задачи
Для одной из рам, изображенных на рис. 2.1.1 – 2.1.25, требуется определить линейное перемещение сечения m и угол поворота сечения n. Расчет перемещений выполнить с учетом податливости сжато-растянутых стержней и упругих связей (пружин). Для расчета принять:
жесткость изгибаемых стержней EI постоянной по длине и одинаковой для всех элементов рамы;
жесткость сжато-растянутых стержней EA= EI /l2;
податливость пружин l3/EI.

Исходные данные для расчета принять из табл. 2.1.
Таблица 2.1

Номер
варианта 1 2 3 4 5 6 7
q, кН/м 2 3 4 3,5 2,5 1,5 1
l, м 3,5 2,5 1,5 1 2 3 4
h, м 4 3 1 1,5 2,5 3,5 2

Расчетная схема рамы, эпюра изгибающих моментов и значение продольной силы в элементе ab от нагрузки

Эпюра изгибающих моментов и значение продольной силы в элементе ab от единичной силы, приложенной в сечении m

Эпюра изгибающих моментов и значение продольной силы в элементе ab от единичного момента, приложенного в сечении n

Линейное перемещение сечения m (Δm) и угловое перемещение сечения n (φn), найденные по формуле Мора

,
где M1, MF – эпюра моментов соответственно от единичного воздействия и заданной нагрузки;
N1, NF – продольная сила в элементе ab соответственно от единичного воздействия и заданной нагрузки;
R1, RF – реакция в пружине соответственно от единичного воздействия и заданной нагрузки.

(м).

(рад).

Пояснения к решению задачи
При построении эпюр изгибающих моментов использован прием, состоящий в том, что предварительно определена продольная сила в сжато-растянутом стержне ab. Для этого было записано выражение изгибающего момента относительно шарнира в отсеченной части, отделенной разрезом от рамы по шарниру и элементу ab, и этот момент приравнен к нулю.
В формуле Мора первый член учитывает влияние на величину перемещения изгиба стержней рамы. Для участков с криволинейной эпюрой изгибающих моментов этот член рекомендуется вычислять по формуле Симпсона, т.е.

,
где (M1×MF)н, (M1×MF)с, (M1×MF)к – произведение значений изгибающих моментов соответственно в начале, середине и конце участка.

На участках с прямолинейной эпюрой MF вычисление интеграла проще произвести по правилу Верещагина, т.е.

,
где w– значений площадь эпюры MF
у – ордината на эпюре M1 под (над) центром тяжести эпюры MF

Второй член формулы Мора учитывает влияние на величину отыскиваемого перемещения податливости сжато-растянутых стержней рамы. Этот член записан в форме решения интеграла Мора для случая, когда N1 и NF = const.
Третий член в формуле Мора учитывает влияние на величину отыскиваемого перемещения податливости упругих связей (пружин). Он также представлен в форме решения интеграла Мора по аналогии с предыдущим пунктом, если произвести замену N1 на R1, NF на RF, а вместо EA поставить жесткость пружины EI /L2.

Расчет перемещений от изменения температуры

Формулировка задачи
Для одной из рам, изображенных на рис. 2.2.1 – 2.2.25, требуется определить линейное перемещение сечения m и угол поворота сечения n. При расчете перемещений принять:
высоту поперечного сечения всех стержней hc=0,1l;
положение центра тяжести поперечного сечения посередине его высоты;
коэффициент линейного расширения одинаковым для всех элементов системы и равным a = 10-5 1/град;
параметр температуры t = 10 °C (на схемах рам температура снаружи tн не показана).

Исходные данные принять из табл. 2.2.
Таблица 2.2

Номер
варианта 1 2 3 4 5 6 7
Температуры снаружи, tн t -t 2t -2t 4t 3t -3t
Температура
внутри, tв -2t -3t 4t 4t -4t -t t
l, м 2 3 4 3 2 4 2,5
h, м 2,5 4 3 2 3 4 2

Пример решения задачи
Исходные данные: схема рамы на рис. 2.2.25; l=2 м; h=2 м; tн= t; tв= -4t; l=2 м; t=10 °C.

1) Эпюры изгибающих моментов и продольной силы в раме от единичной силы, приложенной в сечении m (для определения вертикального перемещения сечения m)

2) Эпюры изгибающих моментов и продольной силы в раме от единичного момента, приложенного в сечении n (для определения угла поворота сечения n)

3) Линейное (Δm) перемещение сечения m и угловое (φn) перемещение сечения n, найденные по формуле Мора

,
где a – коэффициент линейного расширения;
t’=( tн + tв)/2 – температура на оси стержня;
t’’=| tн - tв |;
ωN1, ωM1 – площадь эпюры соответственно N1 и M1 на участке (стержне).

(м) =
м = 6,45 мм,

(рад) = 0,004425 рад.
Пояснения к решению задачи
В формуле Мора первый член учитывает влияние температурного удлинения (укорочения) стержней рамы на величину отыскиваемого перемещения, а второй член – влияние на перемещение температурного искривления стержней.
Знак первого члена формулы Мора устанавливается в зависимости от знака температуры на оси стержня (t’) и знака эпюры продольной силы; знак второго члена зависит от направления температурной кривизны и кривизны от изгиба, вызванного единичной силой. Если на каком-либо участке эти кривизны совпадают, то знак второго члена принимается положительным, в противном случае – отрицательным.

Расчет перемещений от кинематического воздействия

Формулировка задачи
Для одной из рам, изображенных на рис. 2.3.1 – 2.3.25 требуется:
определить линейное и угловое перемещение сечения n и взаимный угол поворота сечений m и k;
изобразить изменение геометрии рамы от кинематического воздействия
При расчете перемещений принять: D =10-2l, j = D/l.

Исходные данные принять из табл. 2.3.
Таблица 2.3

Номер
варианта 1 2 3 4 5 6 7
l, м 1,5 2,0 2,5 3,0 3,25 2,75 1,75
h, м 2,5 4 3 2 3 4 2

Единичное состояние и реакции в связях для определения линейного перемещения сечения n

Единичное состояние и реакции в связях для определения углового перемещения сечения n

Единичное состояние и реакции в связях для определения взаимного угла поворота сечений m и k

Линейное и угловые перемещения сечений от заданного смещения и неточности изготовления связей, найденные по формуле Мора

,
где Rj1 – реакция в j-той связи в соответствующем единичном состоянии;
Sj – заданное перемещение (неточность изготовления) j-той связи.

см,
рад,
рад.
Геометрия рамы с учетом заданных смещений связей

Пояснения к решению задачи
Знак произведения Rj1•Sj устанавливается по правилу: если направление реакции совпадает с направлением заданного перемещения связи, то знак произведения положительный; в противном случае – отрицательный.
При заданной неточности изготовления элемента вышеприведенное правило знаков сохраняется, но в этом случае роль реакции играет внутренний силовой фактор в сечении элемента по направлению заданной неточности.

icq 447777343