Лабораторна робота № 81
Визначення температури катода
Вивчення статистики Максвела-Больцмана

В цій роботі необхідно зробити експериментальне дослідження розподілу електронів, які вилітають з гарячого катоду електровакуумної лампи по енергіям і порівняти отримані результати з розподілом Максвела-Больцмана.
1. Між молекулярно-кінетичною будовою фізичної системи і її макрос­копічними властивостями існує однозначний зв’язок. Визначенням цього зв’язку займається фізична статистика.
2. Задача фізичної статистики – знаходження функції розподілу частинок, які складають конкретну систему, за такими параметрами, як енергія, швидкість, імпульс, довжина вільного пробігу і.т.д. При цьому значення кожного з них параметрів для конкретної частинки виявляється випадковою величиною.
Припустимо, що відома функція розподілу частинок по абсолютному значенню швидкості f(v). Тоді ймовірність того, що для окремо взя­тої частинки (молекули) в деякий момент часу швидкість знаходиться в інтервалі від v до v + dv, і визначається співвідношенням: dv(v) = f(v) dv.
3. Вигляд функції розподілу випадкової величини f(x) залежить від властивостей частинок. Якщо рух частинок підкоряється законам класичної механіки, то в цьому випадку буде класична статистика (статистика Максвела-Больцмана); якщо рух частинок підкоряється законам квантової механіки, то тоді буде квантова статистика (Фермі-Дірака або Бозе-Ейнштейна).
4. Функція розподілу Максвела-Больцмана (М-Б) має вигляд:

де E – енергія частинки; A – нормуючий множник; K – стала Больцмана;
T – абсолютна температура. За допомогою цієї функції визначають ймовірність того, що частинка має координати x, y, z в інтервалах x, x + dx; y, y + dy; z, z + dz і імпульси Px, Py, Pz в інтервалах – Px, Px + dPx, Py, Py + dPy, Pz, Pz + dPz..
Ймовірність того, що частинка має енергію в інтервалі від E до E + dE:

Якщо загальну кількість частинок в системі N помножити на ймовірність, то отримаємо число частинок dN, що мають енергію в межах вказаного інтервалу, тобто:
Звідки отримуємо:

5. На рис.1 показано графік функції розподілу по енергіям. Графік фун­к­ції f(E) і вісь абсцис обмежують частину координатної пло­щини, площа яка дорівнює одини­ці. Нормуючий множник

підібра­но так, щоб інтеграл дорівнював одиниці. Рівняння називають умовою нормування функції розподілу.

Ен. й. E
Рис.1

6. Розглянемо рис.2. Площа заш­т­рихованої частини дорівнює відн­ос­ній частині тих частинок, енергія Е яких більша ніж Е0. Абсолютне чис­ло таких частинок N визначається інтегралом:
. Якщо Е >> КТ, то можна скористатися наближеним співвідношенням:

Е
Рис. 2

7. Квантова статистика Фермі-Дірака (Ф-Д) використовується для систем квантових частинок з напівцілим спіном. Для таких частинок виконується принцип Паулі, у відповідності з яким в кожному квантовому стані може бути лише одна частинка.
Функція розподілу Ф-Д визначає ймовірність заповнення квантового стану з енергією Е і має такий вигляд:
Графік цієї функції показано на рис.3. Величину m - називають хімічним потенціалом, або енергією Фермі. Числове значення цієї енергії дорівнює роботі, яку необхідно виконати, щоб змінити число частинок в системі на одну.
8. Із рис.3 можна бачити, що при Т абсолютного нуля ймо­ві­рність заповнення всіх станів з енергією меншою ніж m дорів­нює 1, тобто всі вони

заповне­н­ні, а ті які мають ене­ргію Е > m - всі вільні. При Т > 0 відбувається часткове заповнення станів з енергією Е > m.
9. Для тих станів, де виконується умова Е - m >> КТ,

1
Т=1/2

Е T=0
Рис. 3
буде справедлива функція розподілу М–Б. Дійсно, якщо Е - m >> КТ, то exp((Е -m) / (КТ)) >> 1 і одиницею в функції Ф-Д можна знехтувати. При цьому ф-я Ф-Д набуває такого вигляду: що практично співпадає з функцією М-Б.
10. Функція розподілу Ф-Д описує вироджені системи. Прикладом такої системи є електронний газ в металах. Електронний газ в напівпровідниках в більшості випадків невироджений. До нього можна застосувати статистику М-Б. Для електронів в металах, котрі мають таку енергію, що Е - m >> КТ, також слід використовувати статистику М-Б. При збільшенні Т частка таких електронів збільшується і частина з них може залишити метал. Виникає явище термоелектронної емісії. В зв’язку з цим, треба сподіватися, що електрони які покидають метал внаслідок термоемісії, підкоряються статистиці М-Б.
11. Це припущення можна перевірити за допомогою електронної лампи (діода), використовуючи методику затримуючого потенціалу. На рис.4 показана принципова схема цього методу. Джерело E2 необхідне для подавання на анод затримуючого потенціалу U3.

V
G
Мікроамперметр вимірює вели­чи­ну струму, який виникає внаслідок того, що частина електронів, які ви­літають із катода, попадають на анод. Напевно із катода вилітають тільки ті електрони, що мають енер­гію не меншу ніж робота виходу Ав. Оскільки робота виходу складає декілька еВ а при Т катоду, КТ = 0,1 еВ, то умова Е >> KT, буде завжди

А

К

+ -

Рис. 4
виконуватись. Враховуючи цю обставину записуємо, що число електронів вилітаючих із катоду, визначається співвідношенням:

де В – коефіцієнт пропорціональності.
Повний струм, величина якого буде виміряна G, очевидно пропорцій­ний числу електронів, що покинули метал, тобто:

де С – новий коефіцієнт.
12. Якщо від джерела Е2 подати на анод від’ємний потенціал U3 віднос­но катода, то це буде еквівалентно збільшенню роботи виходу на eU3, де
e – заряд електрона. Струм при цьому зменшиться і буде визначатись формулою: або:

Після логарифмування, одержуємо:

Можна вважати, що Ав >> eU3. Завдяки цьому будемо рахувати, що:

Нарешті отримуємо:

13. Із останньої формули бачимо, що залежність LnI = f(U3) - лінійна. Це показано на рис.5.
14. При проведенні вимірювань тре­ба мати на увазі, що співвідношення: LnI = LnI0 - eU3/(KT) може відрізнятися від лінійного.

Рис. 5
Ця розбіжність буде особливо значна при малих U3 і великих T-рах катоду. Причина цього- просторовий заряд, що утворюється електронами, які вилітають із катоду. Цей заряд збільшується з підвищенням T катоду. В зв’язку з цим, вимірювання необхідно виконувати, по можливості, при малих температурах.

Завдання 1.
Побудувати криву розподілу термоелектронів по енергіям і порівня­ти її з функцією М-Б.

1

2
4
3

R1

R2

Рис. 6
На схемі установки (рис.6): 1 – електронна лампа (діод); 2 – міліамперметр для вимірювання сили струму розжарювання катода; 3 – мікроамперметр для вимірювання струму через діод, 4 – вольтметр для вимірювання затримуюючого потенціалу; R1 – потенціометр; R2 – реостат в колі розжарювання катоду.
Включити установку, за допомогою R2 виставити необхідний струм розжарення Iр і підтримувати його постійним. Нагрівання катоду потрі­б­но продовжувати 5-10 хвилин. Збільшуючи за допомогою R1 затри­му­ючий потенціал Uз, знайти залежність I від Uз. Результати вимірювань занести в таблицю:

Затримуючий потенціал Анодний струм Зміна анодного струму
, МкА
мкА
По даним таблиці побудувати графік залежності: I = f(Uз), який характеризує розподіл термоелектронів по енергіям. Для побудови графіка необхідно на середині кожного інтервалу затримуючої напруги побудувати в напрямку осі ординат відрізок, який у підібраному масштабі дорівнює тому I, що відповідає цьому інтервалу напруги. Необхідно порівняти отриману криву з теоретичною для розподілу молекул ідеального газу по енергіям. Якщо буде значна розбіжність, то необхідно пояснити її правдоподібними припущеннями.

Завдання 2
Визначити Т електронного газу
Виконати вимірювання подібно тому, що було в завданні 1, але пободувати графік залежності LnI = f(Uз). Результати вимірювань і обчислень занести до таблиці:

Затримуюча напруга
Uз, В Анодний струм I, мкА LnI

Графік залежності LnI = f(Uз) має бути таким як на рис.7. Взявши координати крайніх точок прямолінійної ділянки залежності LnI = f(Uз) і визначати Т термоелектронного газу за формулою: де:

Мал. 7
Е = 1,6×10-19 Кл – заряд електрону; К = 1,38×10-23 Дж/К- стала Больц­мана. Зробити висновки про можливість застосування класичної статис­тики до термоелектронів, звернувши особливу увагу на форму графіка і значення Т електронного газу.

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

1. Що таке функція розподілу? Що можна розрахувати за допомогою функції розподілу?
2. Який вигляд мають функції розподілу Максвела-Больцмана і Фермі- Дірака?
3. Що таке умова нормування? Який її фізичний зміст?
4. Що таке енергія Фермі? При якій умові функція Фермі-Дірака перет­во­рю­ється у функцію Максвела- Больцмана?
5. Що таке термоелектронна емісія?
6. Як впевнитись, що експериментальна залежність відповідає теоретичній?
7. Як залежність сили струму емісії в електронній лампі від Т катоду?
8. Що таке робота виходу і як вона впливає на силу струму при термоелектронній емісії?

ЛІТЕРАТУРА

Епифанов Г. И. Физика твердого тела.-М. Высшая школа, 1977. С. 67-89;

Інструкція складена ст. вик. кафедри фізики Шапаренко В.І.;
Доповнена та перекладена доц. Корнічем В.Г.;
Затверджена на засіданні кафедри, протокол № 8 від 8. 09. 1999 р.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 82.2

Коротка теорія
Явище електропровідності у твердих тілах зв’язане з переміщенням вільних зарядів під дією електричного поля. Таке переміщення зарядів при- водить до зміни їх енергії. Можливі значення енергії електронів у твердих тілах утворюють смуги енергії, які називають енергетичними зонами. Оскільки електропровідність викликана рухом валентних електронів, то її особливості зумовлені характером заповнення валентними електронами квантових станів енергетичної зони, яка називається валентною зоною. При температурах Т, близьких до ОК, можливі два випадки:
а) Квантові стани валентної зони повністю заповнені електронами. Тверде тіло з такою валентною зоною буде погано проводити електричний струм, тому що валентні електрони не можуть рухатись під дією зовнішнього електричного поля. Цей рух приводив би до зміни їх енергії, що мусить супроводжуватись переходом електронів в інші квантові стани. Але всі стани зайняті і переходити нікуди. Це тверде тіло буде ізолятором.
б) Якщо квантові стани валентної зони заповнені електронами частково, то вказаних обмежень на їх рух під дією зовнішнього електричного поля не існує. Тверді тіла з таким заповненням валентної зони добре проводять струм – це гарні провідники. Дослід показує, що високу електропровідність мають метали. Отже, в металах квантові стани валентної зони заповнені електронами частково.
Встановлено, що електропровідність ізоляторів з підвищенням Т різко збільшується, на відміну від металів, де вона монотонно знижується. Зростання провідності ізоляторів із збільшенням Т, зонна теорія твердого ті­ла пояснює так: над валентною енергетичною зоною розміщена зона збуджених станів. Ця зона відділена від валентної зони смугою заборонених енергій, тобто таких значень енергій, які вільний електрон не може мати. Ці енергії утворюють заборонену зону. Енергетична ширина забороненої зони позначається DЕg. Цей параметр є важливою характеристикою опти­чних та електричних властивостей ізоляторів і напівпровідників.
Із збільшенням Т деякі електрони валентної зони переходять в зону збуджених станів. Зона збуджених станів в цьому випадку буде частково заповнена електронами, які під дією зовнішнього електричного поля будуть рухатись так, як в металах. З цієї причини ця зона називається зоною провідності. Ймовірність переходу електронів із валентної зони в зону провідності визначається у відповідності із статистикою Максвела – Больцмана виразом:
(1)
де, k – стала Больцмана, А – нормуючий множник.
Отже, концентрація вільних електронів у зоні провідності змінюється з Т по формулі: (2)
де n – концентрація вільних електронів при Т. Згідно з електрон­ною теорією електропровідності, вираз для питомої провідності має вигляд: , (3)
де е – заряд електрона, n та m - концентрація і рухливість електронів. Експеримент показує, що рухливість m із збільшенням Т у металах зменшується. Аналогічна залежність m(Т) спостерігається в напівпровідниках і в ізоляторах при помірних Т. Але для напівпровідників температурна залежність концентрації значно більш сильна, ніж рухливості, і тому вважають: , (4)
де sо – стала величина.
Звідси випливає принципова відмінність залежності s(Т) напівпровідників від металів. В металах, із збільшенням Т s - зменшується, а в напівпровідниках – стійко зростає. Відмінність між напівпровідниками і діелектриками має умовний характер. Якщо ширина забороненої зони не перевищує 3еВ - це напівпровідник, а якщо більше – діелектрик.
У напівпровідниках провідність здійснюється не тільки вільними електронами зони провідності, але і за рахунок переміщень вакансій валентних електронів, які перейшли у зону провідності. Ці вакансії мають позитивний заряд. Концентрація вакансій у власних напівпровідниках дорівнює концентрації вільних електронів. Ці вакансії називають дірками. Рухливість дірок значно нижча рухливості електронів. Вираз для питомої провідності власного напівпровідника має вигляд: , (5)
де mn і mp – рухливість електронів і дірок.
Експериментальна частина

Завдання. Дослідити залежність опору мідного дроту від Т і визначити температурний коефіцієнт опору (a). Порівняти довідкове значення a для міді з отриманим. Визначити питомий опір міді. Визначити систематичну похибку при вимірах Т.
Встановлена експериментальна залежність електричного опору металів від Т в діапазоні 100 – 200 градусів біля кімнатної Т досить точно описується формулою (1),
Де R0 – опір при 0 оС, Т – температура в оС, a - температурний коефіцієнт опору (ТКО). Для більшості чистих металів a становить приблизно 4×10-3 град-1.
Якщо взяти від (1) диференціал, то отримаємо:
(2)
Звідси отримаємо визначення для Т - ного коефіцієнта опору
(3)
З (1) видно, що графічна залежність RT від Т повинна мати вид прямої лінії і це показано на рис.1
Величина a × R0, буде кутовим коефіцієнтом цієї лінійної залежності, тобто .
Чим більшим буде DR і DТ, тим точніше визначимо aR0 і відповідно, ТКО.

Порядок роботи

Для вимірювання використовуємо вертикальну електричну пічку, в якій роз­міщуємо термопару ХК (хромель-копель) і невеличкий моток мідного дроту. Діаметр дроту »0,1 мм, а його довжина »1,5 м
Опір мідного дроту визначаємо за допомогою закону Ома для дільниці кола. R = U / I. Напругу U на кінцях мідного дроту вимірюємо мілівольтметром, а силу струму через мідний дріт – міліамперметром.
Електрична схема експериментальної установки показана на рис. 2.
1. “+ -“ – джерело постійного струму (випрямач В-24 М).
2. Rб – баластний опір (» 2500 Ом).
3. (мА) – міліамперметр для вимірювання струму, що протікає через (мВ) і Rд (прилад М 2018, шкала 15 мА = 7,5 × 2 мА).
4. (мВ) – мілівольтметр, який вимірює падіння напруги на мідному дроті Rд і на провідниках, що підходять до Rд (прилад М 2048, шкала 10 mА). Використовуємо шкалу 10 mА. Ця сама шкала являється шкалою мілівольтметра на 63 МВ. Опір провідників, що з’єднують Rд з мілівольт­метром становить 0,30 Ом.
Монтажна схема установки показана на рис. 3.
На рис.3 1 – електропіч (живлення 220В). 2 – досліджуваний мідний дріт. 3 – джерело постійного струму. 4 – мілівольтметр (прилад 2048, шкала 10 mА і вона ж буде мілівольтметром на 63 мВ). 5 – Rдод. - додатковий опір (» 2,5 кОм). 6 – міліамперметр (шкала 7,5 мА, множник – 2, 7,5 × 2 = 15 мА
7 – мілівольтметр для виміру ЕРС термопари 8 (шкала 15мВ, опір мілівольтметра 21 Ом. Опір термопари » 1,5 Ом).
Результати вимірів і обчислень заносимо до таблиці 1.
Таблиця 1.

№
пп Т
м Т
оС
вищекімнат Напруга на
Rд
МВ Сила струму
через Rд
мА Опір
д
Ом a
град
нагрів. охолод. нагрів. охолод.
1
2
3
...

Спочатку робимо виміри при кімнатній Т, для цього вмикаємо джерело постійного струму в електричну мережу і за допомогою регулятора на джерелі виставляємо струм по міліамперметру 10 мА. Цей струм при подальших вимірах практично залишається сталим. Потім вмикаємо електропіч і робимо виміри при температурах, коли ЕРС термопари становить 1 мВ, 2 мВ ... до 7 мВ. Після цього електропіч вимикаємо і виміри повторюємо при охолодженні.
Увага! Нагрівати електропіч вище 7 мВ категорично забороняється.
Дані для нагрівання і охолодження для кожної Т складаємо та ділимо на 2, а потім обчислюємо Rд. Т обчислюємо, маючи на увазі, що термопара розвиває ЕРС » 7 мВ, коли вона нагрівається на 100 оС вище від кімнатної Т. Завдяки тому, що опір мілівольтметра (21 Ом) не набагато більший від опору термопари (1,5 Ом), виникає систематична похибка при визначенні Т. Цю похибку необхідно обчислити в % і зробити висновок, яка буде дійсна Т в пічці.
Після обчислення Rд для різних Т необхідно побудувати графік залежності Rд = f(Т оС). Шкалу температур на графіку потрібно починати з 0 оС (див. рис.1). За допомогою графіка визначити R0, tg j та знайти a. При цьому потрібно врахувати опір провідників, які підходять до Rд. Порівняти отримане значення a з довідковим (для міді довідкове a = 4,3×10-3 1/рад. Обчислити питомий опір для міді, використовуючи формулу опору R = r l/S де r - питомий опір, l – довжина провідника, S – площа поперечного перетину. По отриманим результатам зробити короткий висновок.

Контрольні питання

1. В чому різниця температурної залежності опору металів від напівпровідників?
2. Який параметр обумовлює температурну залежність електро­провідності металів?
3. Що називають температурним коефіцієнтом опору?
4. Як впливає власний опір термопари на показання мілівольтме­тра?
5. З якої причини виміри опору мідного дроту в даній роботі виконуються при відносно малій величині струму?
6. Як впливає опір з’єднувальних провідників на величину ТКО?

Інструкція розроблена
доц.. Корнічем В.Г. за допомогою
Суровцева О.К. та Косирєва О.О.
10.10.2002р.